[ numpy ] 線代概念 : 行列式 / 伴隨矩陣 / 反矩陣

行列式 : (Determinant) 
行列式 在數學中，是一個函數，其定義域為 nxn 的矩陣A，取值為一個純量，寫作或 det(A) 或 |A|. 對於簡單的2階和3階的矩陣，行列式的表達式相對簡單，而且恰好是每條主對角線（左上至右下）元素乘積之和減去每條副對角線（右上至左下）元素乘積之和（見圖中紅線和藍線）: 
 
 

- 簡單範例 
求下面矩陣之行列式值 det(A) : 
 

答案為 -6, 如果你要使用 numpy 套件來計算, 可以如下: 
 

伴隨矩陣 : (adjugate matrix) 
在線性代數中，一個方形矩陣的伴隨矩陣是一個類似於逆矩陣的概念. 如果矩陣可逆，那麼它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數. 在此之前先來看看了解 伴隨矩陣 需要知道的一些定義. 
- 定義 
考慮 A 是一個以 R 中元素為係數的 n×n 的矩陣. A的伴隨矩陣可按如下步驟定義 (參考至 wiki) : 
 

- 簡單範例 
來看看範例有助理解, 如果是二維矩陣 : 
 

如果是三維矩陣 : 
 

- Numpy 範例 
考慮下面的 adjugate matrix : 
 

使用 numpy 模組, 我們可以先建立一個函數 adjugate() 將傳入參數 matrix 以其對應的 adjugate matrix 回傳 : 

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1. def adjugate(matrix):  
2.     import numpy as np  
3.     C = np.zeros(matrix.shape)  # 初始化 Cofactor matrix    
4.     nrows, ncols = C.shape      # 取出 Cofactor matrix 的 row,col  
5.     # Loop to calculate Cofactor  
6.     for row in xrange(nrows):  
7.         for col in xrange(ncols):  
8.             minor = matrix[np.array(range(row)+range(row+1,nrows))[:,np.newaxis],  
9.                            np.array(range(col)+range(col+1,ncols))]  
10.             C[row, col] = (-1)**(row+col) * np.linalg.det(minor)    # 計算 Cij | i=row,j=col  
11.     return C.transpose()  

接著你便可以如下使用上面定義的函數計算 adjugate matrix : 
 

反矩陣 : (Invertible matrix) 
在線性代數中，給定一個 n 階方陣 ，若存在一 n 階方陣，使得 : 
 

則稱 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆矩陣，記作 A^-1. 若方陣 A 的逆陣存在，則稱 A 為非奇異方陣或可逆方陣. 並且如果矩陣 A 可逆, 則 : 
 

- 反矩陣之性質 
 

- 簡單範例 
 

- Numpy 範例 
使用 numpy 模組, 可以如下取得某個 matrix 的 inverse matrix : 
 

或者你可以利用 伴隨矩陣 的特性 來求得 反矩陣 : 
 

其他 Numpy 矩陣操作 : 
底下是一些常見 numpy 上提供的 matrix 操作 : 

- n dimension 的 transpose 
你可以透過 numpy.core.defmatrix.matrix 上的方法或屬性取的該 matrix 的 transpose matrix : 
 

或者 ndarray 上也可進行同樣操作 : 
 

補充說明 : 
* Speed up python code for computing matrix cofactors